Question

已知双曲线c：

x2

4

-

y2

12

=1，M（x，y）是平面直角坐标系上的一个动点，点M到直线x=4的距离与点M到点D（1，0）的距离之比恰为双曲线C的离心率，记动点M的轨迹为曲线C，
（1）斜率为

1

2

的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点P（1，

3

2

），设直线PA、PB的斜率分别为k_PA、k_PB，求k_PA+k_PB的数值；
（2）试问：是否存在一个定圆N，与以动点M为圆心，以MD为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由双曲线方程可求离心率，再由已知条件推导出|x-4|=2

(x-1)2+y2

．由此能求出曲线C的方程．设直线l：y=

1

2

x+m，m≠1．联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+mx+m²-3=0．由此利用韦达定理和根的判别式能求出k_PA+k_PB的值．
（2）一定存在满足题意的定圆N．由题意知两圆的圆心之间距离|MN|与其中一个圆的半径之和或差必为定值．联想椭圆轨迹定义，有|MF|+|MD|=4，由此能求出定圆N的方程．

解答： 解：（1）∵双曲线c：

x2

4

-

y2

12

=1的a=2，b=2

3

，c=

4+12

=4，则e=

c

a

=2，
设点M（x，y）是平面直角坐标系上的一个动点，
由于点M到直线x=4的距离等于点M到点D（1，0）的距离的2倍，
∴|x-4|=2

(x-1)2+y2

，
化简，得曲线C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1，
∵直线l的斜率为

1

2

，且不过P（1，

3

2

）点，
∴设直线l：y=

1

2

x+m，m≠1．
联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+mx+m²-3=0．
又交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴

x1+x2=-m x1x2=m2-3

，
∵△=m²-4（m²-3）＞0，∴-2＜m＜2．
∴k_PA+k_PB=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-2m+3

x1x2-(x1+x2)+1

=

m2-3-m2+2m-2m+3

m2-3+m+1

=0．
（2）一定存在满足题意的定圆N．
理由：∵动圆M与定圆N相内切，
∴两圆的圆心之间距离|MN|与其中一个圆的半径之和或差必为定值．
又D（1，0）恰好是曲线（椭圆）C的右焦点，
且M是曲线C上的动点，
记曲线C的左焦点为F（-1，0），联想椭圆轨迹定义，有|MF|+|MD|=4，
∴若定圆的圆心N与点F重合，定圆的半径为4时，则定圆N满足题意．
∴定圆N的方程为：（x+1）²+y²=16．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查两直线斜率和的求法，考查定圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．