Question

18．某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+Φ）+t的图象时，列出了如下表格中的部分数据

x			$\frac{5π}{12}$	$\frac{3π}{4}$
ωx+Φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）		6		-2

（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式；
（2）若x∈[-$\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的性质以及“五点”画法，计算填表即可．选取坐标求出A，ω，Φ，t的值．可得f（x）的解析式；
（2）x∈[-$\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：由题意，可知A=4，t=2．
当x=$\frac{5π}{12}$时，ωx+Φ=π…①
当x=$\frac{3π}{4}$时，ωx+Φ=$\frac{3π}{2}$…②．
由①②可得：ω=$\frac{3}{2}$，Φ=$\frac{3π}{8}$
∴当x=$-\frac{π}{4}$时，ωx+Φ=0．
∴当ωx+Φ=$\frac{π}{2}$时，x=$\frac{π}{12}$．
∴当ωx+Φ=2π时，x=$\frac{13π}{12}$．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=4sin（$\frac{3}{2}x$+$\frac{3π}{8}$）+2．
（2）x∈[-$\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}}$]时，
则$\frac{3}{2}x$+$\frac{3π}{8}$∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当$\frac{3}{2}x$+$\frac{3π}{8}$=$-\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最小值为4×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）+2$=2$-2\sqrt{2}$．
当$\frac{3}{2}x$+$\frac{3π}{8}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为4×1+2=6．

点评 本题考查了五点画法的计算和解析式的确定，性质的运用．属于基础题．