Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-cos²x+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，f（A）=$\frac{1}{4}$，a=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）在[0，π]上的单调递增区间即可；
（Ⅱ）由f（A）的值，确定出A的度数，利用余弦定理求出bc的最大值，进而求出三角形ABC面积的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]；
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理知a²=9=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．