题目内容

9．在△ABC中，若B=3C，求$\frac{b}{c}$的取值范围．

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{b}{c}$=2cos2C+1，由已知及三角形内角和定理可求C及2C的范围，利用余弦函数的性质可求范围，从而得解．

解答 解：∵$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{sin3C}{sinC}$=$\frac{sin2CcosC+cos2CsinC}{sinC}$=$\frac{2sinCco{s}^{2}C+cos2CsinC}{sinC}$=2cos2C+cos2C=2cos2C+1，
∵三角形ABC中，B=3C，A+B+C=π，
∴可得：C=$\frac{π}{4}$-$\frac{A}{4}$∈（0，$\frac{π}{4}$），2C∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cos2C∈（0，1），
∴$\frac{b}{c}$=2cos2C+1∈（1，3）．

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正弦定理，余弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题．

练习册系列答案
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16．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式$f（x）=\frac{1}{x}+3xf'（1）$，则f'（2）的值等于$\frac{5}{4}$．
17．已知对任意平面向量$\overrightarrow{AB}$=（x，y），把$\overrightarrow{AB}$绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到的向量$\overrightarrow{AP}$=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ得到点P．
（1）已知平面内点A（2，3），点B（2+2$\sqrt{3}$，1）．把点B绕点A逆时针方向旋转$\frac{π}{6}$角得到点P，求点P的坐标．
（2）设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转$\frac{π}{4}$后得到的点的轨迹方程是曲线y=$\frac{1}{x}$，求原来曲线C的方程．
17．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）判断是否有95%的把握认为“性别与休闲方式”有关系．
附：${Χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（Χ2＞k0）0.1000.0500.010
k02.7063.8416.635
4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）在x=3处取得极值0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x），x∈[1，3]图象上两个不同的点，且$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{3}$，图象在A（x1，y1），B（x2，y2）两点处的切线的斜率分别为k1，k2，证明：$\sqrt{|{{k_1}{k_2}}|}≤3（{1-\frac{m}{4}}）$．
14．等比数列{an}中，公比q=2，首项a1=2，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2），则f'（0）=（　　）
A．8B．-8C．28D．-28
1．已知函数f（x）=-x2+mlnx（m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若m=2时，函数f（x）与$g（x）=x-\frac{a}{x}（a∈R）$有相同极值点．
①求实数a的值；
②若对于$?{x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{e}，5}]$（e为自然对数的底数），不等式$\frac{{f（{x_1}）-g（{x_2}）}}{t+1}≤1$恒成立，求实数t的取值范围．
18．某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+Φ）+t的图象时，列出了如下表格中的部分数据
x$\frac{5π}{12}$$\frac{3π}{4}$
ωx+Φ0$\frac{π}{2}$π$\frac{3π}{2}$2π
f（x）6-2
（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式；
（2）若x∈[-$\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}}$]，求f（x）的最大值和最小值．
19．已知x2+4xy-3=0，其中x＞0，y∈R，则x+y的最小值是（　　）
A．$\frac{3}{2}$B．3C．1D．2

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