Question

两个单位向量

a

，

b

的夹角为θ，且θ∈（

π

6

，

π

3

），则

a

+

b

与λ

b

（λ＞0）夹角的范围是

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积运算和向量的夹角公式、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵两个单位向量

a

，

b

的夹角为θ，且θ∈（

π

6

，

π

3

），
∴cosθ=

a • b

| a | | b |

=

a

•

b

∈(

1

2

，

3

2

)，|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2+2 a • b

．
设

a

+

b

与λ

b

（λ＞0）夹角为α，

a

•

b

=t．
则cosα=

( a + b )•λ b

| a + b | |λ b |

=

λ a • b +λ b 2

2+2 a • b •|λ|

=

λ a • b +λ

2+2 a • b •λ

=

t+1

2+2t

=

t+1

2

，
∵t∈(

1

2

，

3

2

)，∴

t+1

2

∈(

3

2

，

3 +2

2

)，即

t+1

2

∈(

3

2

，

6 + 2

4

)．
∴

a

+

b

与λ

b

（λ＞0）夹角的范围是(

3

2

，

6 + 2

4

)．
故答案为：(

3

2

，

6 + 2

4

)．

点评：本题考查了数量积运算和向量的夹角公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．