Question

已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．
（1）当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角的余弦值；
（2）当三棱锥M-ACO的体积最大时，求θ的值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先，作辅助线：连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC，然后，得到∠DMC或其补角即为所求，最后，求解即可；
（2）借助于体积公式，分析得到：当OC⊥OA时，△OCA的面积最大，进一步求解即可．

解答： 解：（1）连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．
又PO=

62-42

=2

5

，∴MD=

5

．又OC=4，OM=3．
∵MD∥PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．
∵MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．
当∠MOC=60°时，
∴MC=

13

．
∴cos∠DMC=

MD

MC

=

65

13

，
当∠MOC=120°时，
∴MC=

37

．
∴cos∠DMC=

MD

MC

=

185

37

，
综上，异面直线MC与PO所成的角余弦值等于
cos∠DMC=

MD

MC

=

185

37

或cos∠DMC=

MD

MC

=

65

13

．
（2）∵三棱锥M-ACO的高为MD且长为

5

，
要使得三棱锥M-ACO的体积最大只要底面积△OCA的面积最大．
而当OC⊥OA时，△OCA的面积最大．
又OC⊥OP，此时OC⊥平面PAB，
∴OC⊥PB，θ=90°．

点评：本题重点考查了异面直线所成的角、棱锥的体积计算、空间中垂直关系和平行关系等知识，属于中档题．