题目内容
已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1．
（Ⅰ）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若k＞0且k≠1，问是否存在常数m，使数列{bn}是公比不为1的等比数列？请说明理由；
（Ⅲ）或k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）的值．
（Ⅰ）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若k＞0且k≠1，问是否存在常数m，使数列{bn}是公比不为1的等比数列？请说明理由；
（Ⅲ）或k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）的值．
考点：等差数列与等比数列的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）n=1时，两个数列均为公差为m的等差数列，直接由等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）由x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，得bn=kbn-1+m，两边同时除以bn-1，由商为常数求得m的值；
（Ⅲ）k＜0，函数f（x）=kx+m为减函数，由x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，得bn=kan-1+m，an=kbn-1+m，两式作差后分k=-1和k≠-1分类求解（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）的值．
（Ⅱ）由x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，得bn=kbn-1+m，两边同时除以bn-1，由商为常数求得m的值；
（Ⅲ）k＜0，函数f（x）=kx+m为减函数，由x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，得bn=kan-1+m，an=kbn-1+m，两式作差后分k=-1和k≠-1分类求解（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）的值．
解答：
解：（Ⅰ）k=1时函数?（x）=kx+m为增函数，∴an=an-1+m，bn=bn-1+m，
则an-an-1=m，bn-bn-1=m，
数列{an}，{bn}均为以m为公差的等差数列．
∴an=a1+（n-1）m=（n-1）m，bn=b1+（n-1）m=（n-1）m+1；
（Ⅱ）∵x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，∴bn=kbn-1+m，
∴
=k+
，要使k+
为常数，则必有m=0，
故当m=0时，{bn}是公比为k的等比数列；
（Ⅲ）bn=kan-1+m①
an=kbn-1+m②
①-②得bn-an=-k（bn-1-an-1）
若k=-1，则bn-an=bn-1-an-1=…=b1-a1=1
可得Tn-Sn=n
（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）=1+2+…+2012=2025078；
若k≠-1，则bn-an=（-k）n-1
Tn-Sn=
=
-
，
∴（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）
=
-(
+
+…+
)
=
-
．
则an-an-1=m，bn-bn-1=m，
数列{an}，{bn}均为以m为公差的等差数列．
∴an=a1+（n-1）m=（n-1）m，bn=b1+（n-1）m=（n-1）m+1；
（Ⅱ）∵x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，∴bn=kbn-1+m，
∴
| bn |
| bn-1 |
| m |
| bn-1 |
| m |
| bn-1 |
故当m=0时，{bn}是公比为k的等比数列；
（Ⅲ）bn=kan-1+m①
an=kbn-1+m②
①-②得bn-an=-k（bn-1-an-1）
若k=-1，则bn-an=bn-1-an-1=…=b1-a1=1
可得Tn-Sn=n
（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）=1+2+…+2012=2025078；
若k≠-1，则bn-an=（-k）n-1
Tn-Sn=
| 1-(-k)n |
| 1+k |
| 1 |
| 1+k |
| (-k)n |
| 1+k |
∴（T1+T2+…+T2012）-（S1+S2+…+S2012）
=
| 2012 |
| 1+k |
| -k |
| 1+k |
| (-k)2 |
| 1+k |
| (-k)2012 |
| 1+k |
=
| 2012 |
| 1+k |
| k2013-k |
| (1+k)2 |
点评：本题考查了等差数列和等比数列的综合，考查了数列的函数特性，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了等比数列的求和方法，是中档题．
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