Question

已知集合M={x|x²+x≤4-2x，x∈R}，求函数f（x）=a²-1+ax+x²，x∈M的最小值g（a）并求出g（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：首先求出集合M，再化简函数f（x），从而讨论函数f（x）的对称轴，以确定函数f（x）的最小值，从而求出g（a）的表达式，同时求出g（a）的最小值．

解答： 解：由题意，解x²+x≤4-2x得，
-4≤x≤1，
故M=[-4，1]；
又∵函数f（x）=a²-1+ax+x²的对称轴为-

a

2

，
①当-

a

2

≤-4，即a≥8时，
函数f（x）=a²-1+ax+x²在[-4，1]上单调递增，
则g（a）=f_min（x）=a²-1-4a+16=a²-4a+15≥47；
②当-4＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜8时，
函数f（x）=a²-1+ax+x²在[-4，1]上先减后增，
则g（a）=f_min（x）=f（-

a

2

）=

3

4

a²-1≥-1；
③当-

a

2

≥1，即a≤-2时，
函数f（x）=a²-1+ax+x²在[-4，1]上单调递减，
则g（a）=f_min（x）=a²+a≥2；
则g（a）=

a2-4a+15，a≥8 3 4 a2-1，-2＜a＜8 a2+a，a≤-2

，
且g（a）的最小值为-1．

点评：本题考查了二次函数的性质与分段函数的应用，属于中档题．