Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为a，P为A₁B上的点．
（1）试确定

A1P

PB

的值，使得PC⊥AB；
（2在直线A₁B上找一点P使二面角P-AC-B的大小为60°，求

A1P

PB

的值；
（3）在（2）条件下，求C₁到平面PAC的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱的结构特征,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，由此利用向量法求出

A1P

PB

=1时，PC⊥AB．
（2）设

A1P

=t

A1B

，P（m，n，q），由已知得

A1P

=（ta，0，a-ta），

A1C

=（

1

2

a，

3

2

a，0），求出平面APC的法向

n

=（-3，

3

，

3t

1-t

），平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），由此利用向量法能求出结果．
（3）平面PAC的法向量

n

=（-3，

3

，2），

AC1

=（

a

2

，

3 a

2

，a），由此能求出C₁到平面PAC的距离．

解答： 解：（1）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、
C（

a

2

，

3 a

2

，0）．A（0，0，0），

PC

=（

a

2

-x，

3

2

a，-z），

AB

=（a，0，0），
∵PC⊥AB，∴

PC

•

AB

=(

a

2

-x)a=0，
解得x=

1

2

a，即P为A₁B的中点，
∴

A1P

PB

=1时，PC⊥AB．
（2）设

A1P

=t

A1B

，P（m，n，q），

A1P

=（m，n，q-a），

A1B

=（a，0，-a），
则（m，n，q-a）=（ta，0，-ta），∴P（ta，0，a-ta），
C（

1

2

a，

3

2

a，0），

A1P

=（ta，0，a-ta），

A1C

=（

1

2

a，

3

2

a，0），
设平面APC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • A1P =tax+(a-ta)z=0 n • A1C = 1 2 ax+ 3 2 ay=0

，
取y=

3

，得

n

=（-3，

3

，

3t

1-t

），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），二面角P-AC-B的大小为60°，
∴cos60°=|cos＜

m

，

n

＞|=|

3t 1-t

12+( 3t 1-t )2

|=

1

2

，
由0≤t≤1，解得t=

2

5

，
∴

A1P

=

2

5

A1B

，∴

A1P

PB

=

2

3

．
（3）由（2）得平面PAC的法向量

n

=（-3，

3

，

3t

1-t

）=（-3，

3

，2），
C1(

a

2

，

3 a

2

，a)，

AC1

=（

a

2

，

3 a

2

，a），
∴C₁到平面PAC的距离d=

| n • AC1 |

| n |

=

|- 3a 2 + 3a 2 +2a|

16

=

a

2

．

点评：本题考查满足条件的线段的比值的求法，考查满足条件的点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．