Question

9．已知x，y满足约柬条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，则$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{25}{6}$
• B． 4$+\sqrt{3}$
• C． 4$+2\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b=2．再由乘1法和基本不等式，即可得到所求的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$，作可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得：A（2，1）．
化目标函数为直线方程得：y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$（b＞0）．
由图可知，当直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$过A点时，
直线在y轴上的截距最小，z最小．
则2a+b=2，
即有$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）×1=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）（2a+b）
=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{4a}{b}$+$\frac{3b}{a}$）≥$\frac{1}{2}$（8+2$\sqrt{\frac{4a}{b}•\frac{3b}{a}}$）
=$\frac{1}{2}$×（8+4$\sqrt{3}$）=4+2$\sqrt{3}$（当且仅当2a=$\sqrt{3}$b=3-$\sqrt{3}$，取得最小值）．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了基本不等式的应用，是中档题．