Question

12．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面BB₁C₁C是边长为2的正方形，点A₁在平面BB₁C₁C上的射影H是BC₁的中点，且A₁H=$\sqrt{3}$，G是CC₁的中点．
（1）求证：BB₁⊥A₁G；
（2）求C到平面A₁B₁C₁的距离．

Answer 1

分析 （1）连接GH，由已知得A₁H⊥平面BB₁C₁C，可得A₁H⊥BB₁，由中位线和条件得BB₁⊥HG，由线面垂直的判定定理可证结论成立；
（2）取B₁C₁的中点E，连接HE、A₁E，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B₁C₁⊥A₁E，求出△A₁B₁C₁的面积，由等体积法求出C到平面A₁B₁C₁的距离．

解答 证明：（1）如图连接GH，
∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影H，
∴A₁H⊥平面BB₁C₁C，
∵BB₁BC?平面BB₁C₁C，∴A₁H⊥BB₁，
∵H是BC₁的中点，G是CC₁的中点，
∴HG∥BC，
由∠B₁BC=90°知，BB₁⊥BC，∴BB₁⊥HG
∵A₁H∩HG=H，∴BB₁⊥平面A₁HG，
∴BB₁⊥A₁G；
解：（2）取B₁C₁的中点E，连接HE、A₁E，
由∠BB₁C₁=90°得，HE⊥B₁C₁，
∵A₁H⊥平面BB₁C₁C，∴A₁H⊥B₁C₁，
∵A₁H∩HE=H，∴B₁C₁⊥平面A₁HE，∴B₁C₁⊥A₁E，
∵H是BC₁的中点，E是B₁C₁的中点，∴HE∥BB₁，且HE=1，
在△A₁HE中，A₁E=$\sqrt{{A}_{1}{H}^{2}+H{E}^{2}}$=2，∴${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•B₁C₁AB•A₁EBC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
设C到平面A₁B₁C₁的距离为h，由${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}C}$=V_A${V}_{{C-A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$得，
$\frac{1}{3}$×A₁E×${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$×h×${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
则$\frac{1}{3}×$$\sqrt{3}×$$\frac{1}{2}×$2×2=$\frac{1}{3}×$h×2，解得h=$\sqrt{3}$，
∴C到平面A₁B₁C₁的距离是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查空间位置关系及三棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理、定义，及等体积法的应用，属中档题．