Question

已知函数f（x）=x²-2ax，g（x）=ax+2（a＞0），对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），则实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件知g（x）的值域是函数f（x）的值域的子集，而a＞0，所以g（x）的值域可求出为[-a+2，2a+2]．所以需求f（x）的值域，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²是二次函数，对称轴为x=a，从而分这样几种情况讨论a并求出每种情况下的f（x）的值域：①0＜a＜

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，②

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≤a＜2，③a≥2，对于情况①容易求出f（x）的值域为[-a²，4-4a]，根据g（x）的值域是f（x）的值域的子集即可得到

-a2≤-a+2 4-4a≥2a+2

，解该不等式即得a的取值范围，同样的方法求出情况②③下的a的取值范围，这三种情况求并集即可．

解答： 解：由已知条件可知函数g（x）的值域是f（x）值域的子集；
∵a＞0，∴g（x）在[-1，2]上的值域为[g（-1），g（2）]=[-a+2，2a+2]；
函数f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²的对称轴是x=a，又∵a＞0；
∴①0＜a＜

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时，f(x)min=f(a)=-a2，f（x）_max=f（2）=4-4a；
∴此时f（x）的值域为[-a²，4-4a]，则：

-a2≤-a+2 4-4a≥2a+2

，解得a≤

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，∴0＜a≤

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；
②

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≤a＜2时，f(x)min=-a2，f(x)max=f(-1)=1+2a；
∴此时f（x）的值域为[-a²，1+2a]，则：

-a2≤-a+2 1+2a≥2a+2

，该不等式组无解；
③a≥2时，f（x）在[-1，2]上单调递减；
∴f（x）的值域为[f（2），f（-1）]=[4-4a，1+2a]，同②此时的a不存在；
综上得a的取值范围是(0，

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]．

点评：考查子集的概念，根据一次函数的单调性求值域，二次函数的对称轴及二次函数的单调性，以及二次函数值域的求法．