题目内容
设函数f（x）=
，若对任意给定的a∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足 f（f（x））=ma+2m2a2，则正实数m的取值范围是 ．
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考点：分段函数的应用
专题：函数的性质及应用
分析：作出函数f（x）的图象，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论．
解答：
解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，
又∵f（x）=ex，（x≤0）时，值域为（0，1]；
f（x）=lnx，（x＞0）时，其值域为R，
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
要想f（f（x））=ma+2m2a2，在a∈[1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （因为ma+2m2a2＞0），
所以：f（x）＞e，即lnx＞e，
解得：x＞ee，
当 x＞ee时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
∴ma+2m2a2＞1，a∈[1，+∞），且m＞0，
把m当作主变量，
则不等式等价为2m2a2+ma-1＞0，
即（ma+1）（2ma-1）＞0，
∵ma+1＞0，
∴不等式等价为2ma-1＞0，
即m＞
，
∵a≥1，
∴
≤
，
则m＞
，
故正实数m的取值范围是（
，+∞）．
又∵f（x）=ex，（x≤0）时，值域为（0，1]；
f（x）=lnx，（x＞0）时，其值域为R，
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
要想f（f（x））=ma+2m2a2，在a∈[1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （因为ma+2m2a2＞0），
所以：f（x）＞e，即lnx＞e，
解得：x＞ee，
当 x＞ee时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
∴ma+2m2a2＞1，a∈[1，+∞），且m＞0，
把m当作主变量，
则不等式等价为2m2a2+ma-1＞0，
即（ma+1）（2ma-1）＞0，
∵ma+1＞0，
∴不等式等价为2ma-1＞0，
即m＞
| 1 |
| 2a |
∵a≥1，
∴
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 2 |
则m＞
| 1 |
| 2 |
故正实数m的取值范围是（
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查了分段函数的应用，综合性较强，利用数形结合是解决本题的关键，难度较大．
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