Question

10．已知复数z=1+i（i为虚数单位），a、b∈R，
（Ⅰ）若$ω={z^2}+3\overline z-4$，求|ω|；
（Ⅱ）若$\frac{{{z^2}+az+b}}{{{z^2}-z+1}}=1-i$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

解答 解：（I）∵$ω={z^2}+3\overline z-4={（1+i）^2}+3（1-i）-4=-1-i$，
∴$|ω|=\sqrt{{{（-1）}^2}+{{（-1）}^2}}=\sqrt{2}$．
（II）由条件$\frac{{{z^2}+az+b}}{{{z^2}-z+1}}=\frac{{{{（1+i）}^2}+a（1+i）+b}}{{{{（1+i）}^2}-（1+i）+1}}=\frac{（a+b）+（a+2）i}{i}=1-i$，
∴（a+b）+（a+2）i=i（1-i）=1+i，
即 $\left\{{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{a+2=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．