Question

15．已知函数f（x）=（x²-3）e^x，现给出下列结论：
①f（x）有极小值，但无最小值②f（x）有极大值，但无最大值
③若方程f（x）=b恰有一个实数根，则b＞6e^-3
④若方程f（x）=b恰有三个不同实数根，则0＜b＜6e^-3
其中所有正确结论的序号为②④．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，以及单调区间和极值、最值，作出f（x）的图象，由图象可判断①③错；②④对．

解答 解：由函数f（x）=（x²-3）e^x，
可得导数为f′（x）=（x²+2x-3）e^x，
当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞1或x＜-3时，f′（x）＞0，f（x）递增．
当x→-∞时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→+∞．
作出函数f（x）的图象，可得：
f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值-2e；
在x=-3处取得极大值，且为6e^-3，无最大值．
故①错；②对；
若方程f（x）=b恰有一个实数根，
可得b=-2e或b＞6e^-3，故③错；
若方程f（x）=b恰有三个不同实数根，
可得0＜b＜6e^-3，故④对．
故答案为：②④．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．