Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为T，且在一个周期内的图象如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数g（x）=f（mx）+1（m＞0）的图象关于点M（

4π

3

，0）对称，且在区间[0，

π

2

]上不是单调函数，求m的取值所构成的集合．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据最值求出A，B，利用周期求出ω，结合最大值求出φ，可得函数的解析式；
（2）利用对称性，求出m=

3

2

k+

1

4

，k∈N，结合函数在区间[0，

π

2

]上不是单调函数，求m的取值所构成的集合．

解答： 解：（1）由图象得T=4π，∴ω=

1

2

，
又A＞0，∴

A+B=2 -A+B=-4

解得A=3，B=-1…（3分）
∴y=3sin（

1

2

x+φ）-1
∵f（

4π

3

）=2，∴sin（

2π

3

+φ）=1，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴y=3sin（

1

2

x-

π

6

）-1…（5分）
（2）g（x）=f（mx）+1=3sin（

m

2

x-

π

6

），
∵函数g（x）=f（mx）+1（m＞0）的图象关于点M（

4π

3

，0）对称，
∴g（

4π

3

+x）=-g（

4π

3

-x），
令x=0，则g（

4π

3

）=0，
∴3sin（

2mπ

3

-

π

6

）=0，
∴

2mπ

3

-

π

6

=kπ，
∴m=

3

2

k+

1

4

，k∈N…（8分）
k=0，m=

1

4

；k=1，m=

7

4

，函数在区间[0，

π

2

]上单调递增，
k≥2，m≥

13

4

，函数在区间[0，

π

2

]上不是单调函数，
综上，m的取值所构成的集合为{m|m=

3

2

k+

1

4

，k∈N且k≥2}．…（12分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．