Question

四棱锥P-ABCD中，DC∥AB，AB=2DC=4

5

，AC=2AD=4，平面PAD⊥底面ABCD，M为棱PB上任一点．
（Ⅰ）证明：平面MAC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若△PAD为等边三角形，平面MAC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体，当着两个几何体的体积之比V_M-ACD：V_M-ABC=11：4时，求

PM

MB

的值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由勾股定理可得AC⊥AD，进而由面面垂直的性质得到：AC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到：平面MAC⊥平面PAD；
（Ⅱ）取AD的中点E，连接PE，BE，易证平面PBE⊥平面ABCD，过M作MN⊥BE于点N，则MN⊥平面ABCD，由V_M-ACD：V_M-ABC=11：4可得：V_M-ABCD：V_M-ABC=15：4，进而可得MN的长，最后由在△PAE中，

PM

MB

=

PE-MN

MN

得到答案．

解答： 证明：（Ⅰ）在△ACD中，由AC=2AD=4，2DC=4

5

，
可得：AC²+AD²=CD²，
∴AC⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥平面PAD，
又∵AC?平面MAC，
∴平面MAC⊥平面PAD；
解：（Ⅱ）取AD的中点E，连接PE，

则PE⊥AD，则PE⊥平面ABCD，且PE=

3

，
连接BE，则平面PBE⊥平面ABCD，
过M作MN⊥BE于点N，则MN⊥平面ABCD，
∴S_△ACD=

1

2

×AC×AD=

1

2

×2×4=4，
S_△ABC=

1

2

×AC×AB•sin∠BAC=

1

2

×4

5

×4×

2

2 5

=8，
故V_p-ABCD=

1

3

（S_△ACD+S_△ABC）PE=

1

3

×（4+8）×

3

=4

3

，
V_M-ABC=

1

3

S_△ABC•MN=

8

3

MN，
由V_M-ACD：V_M-ABC=11：4得：V_M-ABCD：V_M-ABC=15：4，
即4

3

：

8

3

MN=15：4，
解得：MN=

2 3

5

在△PAE中，

PM

MB

=

PE-MN

MN

=

3

2

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答本题的关键．