Question

已知点P（x，y）是圆（x+2）²+y²=1上任意一点．
（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值；
（2）求

y-2

x-1

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）求出圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离d=

6

5

，大于半径r=1，再根据P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r、最小值d-r，可得结论．
（2）令t=x-2y，则当圆（x+2）²+y²=1和此直线相切时，t取得最值．再根据圆心（-2，0）到直线x-2y-t=0的距离为1，求得t的值，即为所求．
（3）

y-2

x-1

表示圆上的点P（x，y）与点M（1，2）连线的斜率，设为k，则过点M的圆的切线方程为y-2=k（x-1），由圆心到切线的距离等于半径，求得k的值，可得

y-2

x-1

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离d=

|-6+0+12|

9+16

=

6

5

，大于半径r=1，
故P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=

11

5

，最小值d-r=

1

5

．
（2）令t=x-2y，即y=

x

2

-

t

2

，表示斜率为

1

2

、在y轴上的截距为-

t

2

的直线，
故当此直线和圆（x+2）²+y²=1相切时，t取得最值．
由圆心（-2，0）到直线x-2y-t=0的距离为半径1，可得

|-2-0-t|

5

=1，
求得t=-2-

5

，或t=-2+

5

，
故t=x-2y的最大值为-2+

5

，t=x-2y的最小值为-2-

5

．
（3）

y-2

x-1

表示圆上的点P（x，y）与点M（1，2）连线的斜率，
设为k，则过点M的圆的切线方程为y-2=k（x-1），
即 kx-y+2-k=0，由圆心到切线的距离等于半径，可得

|-2k-0+2-k|

k2+1

=1，求得k=

3± 3

4

，
故

y-2

x-1

的最大值为

3+ 3

4

，最小值为

3- 3

4

．

点评：本题主要考查直线的斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．