Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1  的离心率是 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，其一条准线方程为x=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，可求a，c，由b²=c²-a²可求b，可求双曲线的方程
（II）由（I）知A（-2，0），设D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）则由$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，可得x₁=$\frac{λ{x}_{0}-2}{1+λ}$，y₁=$\frac{λ{y}_{0}}{1+λ}$，结合E，D在双曲线上，可求x₀，结合双曲线的性质可求λ的取值范围．

解答 解：（I）由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴a=$\sqrt{3}$，c=2，b=1，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=1（4分）
（II）由（I）知A（-2，0），设D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）
则由$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，
可得x₁=$\frac{λ{x}_{0}-2}{1+λ}$，y₁=$\frac{λ{y}_{0}}{1+λ}$，
∵E在双曲线上
∴$\frac{1}{3}$（$\frac{λ{x}_{0}-2}{1+λ}$）²-（$\frac{λ{y}_{0}}{1+λ}$）²=1
（-2+λx0）2-3（λy0）2=3（1+λ）2
∵D在双曲线
∴可得x₀=$\frac{1-6λ}{4λ}$$≥\sqrt{3}$，
∴λ≤$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$，
∵D在双曲线的左支，点D在右支
∴0＞λ≤$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$（12分）

点评 本题主要考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，双曲线的性质的应用，属于综合试题．