Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足${b_n}={a_{n+1}}-{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2n+$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）根据数列的通项a_n和S_n的关系，即可求解{a_n}的项公式；
（2）由b_n=2+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），即可利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和为T_n，继而得以证明．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{3n}{2}$-$\frac{{（n-1）}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）}{2}$=n+1，
又当n=1时，a₁=S₁=2适合a_n=n+1；
∴a_n=n+1．…（5分）
（2）证明：由（1）知b_n=n+3-（n+1）+$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$=2+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），…（7分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2n+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）…（10分）
=2n+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）＜2n+$\frac{5}{12}$…（12分）．

点评 本题考查数列递推式的应用，考查裂项法求和，属于中档题．