Question

已知f（x）、g（x）是两个实系数首项系数为1的三次多项式，方程f（x）=0，g（x）=0，f（x）=g（x）共有八个不同的实根．证明：这八个根中最大和最小的不能都是f（x）=0的根．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：反证法

分析：利用反证法假设这八个根中最大和最小的都是f（x）=0的根，进而推出矛盾．

解答： 证明：∵f（x）、g（x）是两个实系数首项系数为1的三次多项式
∴f（x）-g（x）不超过二次
又方程f（x）=0，g（x）=0，f（x）=g（x）共有八个不同的实根
∴每个根都是单根，f（x）=g（x）为二次方程，有两个单根
设a，b分别为八个根中最大和最小的根，则
f（a）=0，f（b）=0
∵g（x）=0有三个单根，且全部在区间（a，b）上
∴g（a）•g（b）＜0
又f（x）=g（x）有两个单根，且全部在区间（a，b）上
∴[f（a）-g（a）]•[f（b）-g（b）]
=-g（a）•[-g（b）]
=g（a）•g（b）＞0
矛盾，所以假设不成立．
故这八个根中最大和最小的不能都是f（x）=0的根

点评：本题主要考察了反证法以及多项式与方程的根的关系，属于难题．