Question

13．已知数列{a_n}是首项为32的正项等比数列，S_n是其前n项和，且$\frac{{S}_{7}-{S}_{5}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，若S_k≤4•（2^k-1），则正整数k的最小值为4．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q＞0，$\frac{{S}_{7}-{S}_{5}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，q²=$\frac{1}{4}$，解得q=$\frac{1}{2}$．可得S_k．代入不等式S_k≤4•（2^k-1），化简即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，$\frac{{S}_{7}-{S}_{5}}{{S}_{5}-{S}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{a}_{7}+{a}_{6}}{{a}_{5}+{a}_{4}}$=$\frac{{q}^{2}（{a}_{5}+{a}_{4}）}{{a}_{5}+{a}_{4}}$=q²=$\frac{1}{4}$，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴S_k=$\frac{32[1-（\frac{1}{2}）^{k}]}{1-\frac{1}{2}}$=$64[1-（\frac{1}{2}）^{k}]$．
不等式S_k≤4•（2^k-1），即$64[1-（\frac{1}{2}）^{k}]$≤4•（2^k-1），化为：16≤2^k，
则正整数k的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．