Question

2．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，圆C：x²+y²=6-a²在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k₁，椭圆M在点P处的切线斜率为k₂，则$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范围为（　　）

• A． （1，6）
• B． （1，5）
• C． （3，6）
• D． （3，5）

Answer 1

分析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6-{a}^{2}}＜a}\\{\sqrt{6-{a}^{2}}＞1}\end{array}\right.$，求得3＜a²＜5，根据椭圆及圆的切线方程，求得切线的斜率，即可求得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=a²，求得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范围．

解答 解：设P（x₀，y₀），
由椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，圆C：x²+y²=6-a²在第一象限有公共点P，
当焦点在x轴时，即a＞1时，
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6-{a}^{2}}＜a}\\{\sqrt{6-{a}^{2}}＞1}\end{array}\right.$，解得：3＜a²＜5，
当焦点在y轴，即0＜a＜1时，显然圆与椭圆无交点，
圆x²+y²=6-a²在P点的切线方程为x₀x+y₀y=6-a²，则切线斜率k₁=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1在P点的切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}+{y}_{0}y=1$，则切线斜率k₂=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}{a}^{2}}$，
则$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=a²，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范围（3，5），
故选：D．

点评 本题考查椭圆及圆的切线方程，考查圆与椭圆的交点问题，考查计算能力，属于难题．