Question

17．已知点F₁是抛物线C：x²=4y的焦点，点F₂为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F₂作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F₁，F₂为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 利用直线F₂A与抛物线相切，求出A的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：设直线F₂A的方程为y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴A（2，1），
∴双曲线的实轴长为AF₂-AF₁=2（$\sqrt{2}$-1），
∴双曲线的离心率为$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$+1．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是求出A的坐标，属中档题．