Question

2．已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x³-4x，若函数g（x）=f（x）-a（x-2）有4个零点，则实数a的取值范围为（0，1）．

Answer 1

分析 利用导数判断x≥0时，f（x）=x³-4x的单调性，结合函数为偶函数作出简图，把函数g（x）=f（x）-a（x-2）有4个零点转化为即方程f（x）-a（x-2）=0有4个根．
也就是函数y=f（x）与y=a（x-2）有4个不同交点．求出过（2，0）与曲线f（x）=-x³+4x（x＜0）相切的直线的斜率，则答案可求．

解答 解：f（x）=x³-4x（x≥0），
f′（x）=3x²-4=$3（{x}^{2}-\frac{4}{3}）=3（x+\frac{2\sqrt{3}}{3}）（x-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$，
当x∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）时，f′（x）＜0，当x∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上单调递减，在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上单调递增．
∴当x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，f（x）有极小值为$-\frac{22\sqrt{3}}{9}$．
函数g（x）=f（x）-a（x-2）有4个零点，即方程f（x）-a（x-2）=0有4个根．
也就是函数y=f（x）与y=a（x-2）有4个不同交点．
如图：
∵函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x³-4x，
∴当x＜0时，f（x）=-x³+4x．
设过（2，0）的直线与曲线f（x）=-x³+4x相切于点（${x}_{0}，-{{x}_{0}}^{3}+4{x}_{0}$），
则$f′（{x}_{0}）=-3{{x}_{0}}^{2}+4$，∴切线方程为$y+{{x}_{0}}^{3}-4{x}_{0}=（-3{{x}_{0}}^{2}+4）（x-{x}_{0}）$．
代入（2，0），得${{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}+4=0$，
即（x+1）（x-2）²=0，得x=-1．
∴切线的斜率为a=-3×（-1）²+4=1．
则实数a的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查函数零点的判定定理，训练了利用导数研究函数的单调性，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．