Question

12．若不等式a²+10b²+c²≥tb（a+3c）对一切正实数a，b，c恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 根据不等式对一切正实数恒成立，得出t≤$\frac{{a}^{2}+1{0b}^{2}{+c}^{2}}{b（a+3c）}$，求出h=$\frac{{a}^{2}+1{0b}^{2}{+c}^{2}}{b（a+3c）}$的最小值即可．

解答 解：不等式a²+10b²+c²≥tb（a+3c）对一切正实数a，b，c恒成立，
∴t≤$\frac{{a}^{2}+1{0b}^{2}{+c}^{2}}{b（a+3c）}$；
设h=$\frac{{a}^{2}+1{0b}^{2}{+c}^{2}}{b（a+3c）}$，a、b、c是正实数，
则h=$\frac{{（a}^{2}{+b}^{2}）+（{9b}^{2}{+c}^{2}）}{ab+3bc}$≥$\frac{2ab+2•3bc}{ab+3bc}$=2，
∴t≤2；
∴实数t的取值范围是（-∞，2]．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题．