Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求四棱锥的体积V和截面ADMN的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得AN⊥PB．再由线面垂直的性质及底面为直角梯形得AD⊥平面PAB，从而得到AD⊥PB，由线面垂直的判定可得PB⊥平面ADMN，则PB⊥DM；
（2）求出底面直角梯形的面积，直接由棱锥体积公式求得四棱锥的体积V．证明ADMN为直角梯形并求其上底与下底长，求出高AN，再由梯形面积公式求解．

解答 （1）证明：∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AD，又∠BAD=90°，即BA⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥PB，
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN，则PB⊥DM；
（2）解：由AD=AB=2BC=2，得底面直角梯形ABCD的面积$S=\frac{BC+AD}{2}×AB=\frac{1+2}{2}×2=3$，
由PA⊥底面ABCD，得四棱锥P-ABCD的高h=PA=2，
∴四棱锥P-ABCD的体积$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}×3×2=2$．
由M，N分别为PC，PB的中点，得MN∥BC，且$MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，
又AD∥BC，故MN∥AD，由（1）得AD⊥平面PAB，
又AN?平面PAB，∴AD⊥AN，故四边形ADMN是直角梯形，
在Rt△PAB中，$PB=\sqrt{P{A^2}+A{B^2}}=2\sqrt{2}，AN=\frac{1}{2}PB=\sqrt{2}$，
∴截面ADMN的面积积$S=\frac{1}{2}（{MN+AD}）×AN=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+2}）×\sqrt{2}=\frac{{5\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题．