Question

如图，正四棱锥P-ABCD的高为3，底面边长为2，E是棱PC的中点，过AE作平面与棱PB、PD分别交于点M、N（M、N可以是棱的端点）．
（Ⅰ）当M是PB的中点时，求PN的长；
（Ⅱ）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间角

分析：（Ⅰ）当M是PB的中点时，证明ME∥AN，可得N、D两点重合，即可求PN的长；
（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）当M是PB的中点时，ME∥BC．
因为BC∥平面PAD，所以ME∥平面PAD，
所以ME∥AN．
又ME∥AD，所以N、D两点重合．
所以PN=PD=

32+( 2 )2

=

11

．…（4分）
（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(

2

，0，0)，C(0，

2

，0)，P(0，0，3)，A(0，-

2

，0)，E(0，

2

2

，

3

2

)
∴

PB

=(

2

，0，-3)，

PC

=(0，

2

，-3)，

AE

=(0，

3 2

2

，

3

2

)．…（6分）
设平面PBC的一个法向量为

m

=（x，y，z），则

2 x-3z=0 2 y-3z=0

，令z=

2

，得

m

=（3，3，

2

）．…（8分）
设直线AE与平面PBC所成的角为θ，则sin θ=|cos?m，

AE

＞|=

9 2 2 + 3 2 2

3 3 2 •2 5

=

2 30

15

．
所以直线AE与平面PBC所成角的正弦值为

2 30

15

．…（12分）

点评：本题考查了面面垂直的证明，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．