Question

过椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左焦点作直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=-1，则|AB|的值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB：y=k（x+1），联立椭圆方程，消去y得，（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，运用韦达定理，由条件x₁+x₂=-1，求得k，再由弦长公式|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，即可得到答案．

解答： 解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左焦点为（-1，0），
设直线AB：y=k（x+1），联立椭圆方程，消去y得，
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
则x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
由x₁+x₂=-1，则k²=

3

4

，x₁x₂=

3-12

3+3

=-

3

2

．
则|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 3 4

•

1+4× 3 2

=

7

2

．
故答案为：

7

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去一个未知数，运用韦达定理和弦长公式解题，考查运算能力，属于中档题．