题目内容
已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0和f（x+2）-f（x）=4x
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[a，a+2]（a∈R）上的最小值g（a）．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[a，a+2]（a∈R）上的最小值g（a）．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）先设出函数的表达式，由f（x+2）-f（x）=4x得方程组求出a，b的值即可；（2）通过讨论a的范围，根据函数的单调性，从而求出函数的最小值．
解答：
解：（1）∵f（0）=0，
∴设f（x）=ax2+bx，
∴a（x+2）2+b（x+2）-ax2-bx=4ax+4a+2b=4x，
∴
，解得：a=1，b=-2，
∴f（x）=x2-2x．
（2）当a+2≤1时，即a≤-1时，f(x)min=f(a+2)=a2+2a，
当a＜1＜a+2时，即-1＜a＜-1时，f（x）min=f（1）=-1
当a≥1时，f(x)min=a2-2a，
∴g(a)=
．
∴设f（x）=ax2+bx，
∴a（x+2）2+b（x+2）-ax2-bx=4ax+4a+2b=4x，
∴
|
∴f（x）=x2-2x．
（2）当a+2≤1时，即a≤-1时，f(x)min=f(a+2)=a2+2a，
当a＜1＜a+2时，即-1＜a＜-1时，f（x）min=f（1）=-1
当a≥1时，f(x)min=a2-2a，
∴g(a)=
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点评：本题考查了求函数的表达式，考查二次函数的性质，函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．
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