Question

19．已知函数f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+2x）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单凋增区间；
（3）求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式可得；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单凋增区间；
（3）当2x+$\frac{π}{3}$分别为2kπ+$\frac{π}{2}$和2kπ-$\frac{π}{2}$，函数取最大、小值，解x可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+2x）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函数f（x）的单凋增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（3）当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z时，函数f（x）取最大值2；
当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z时，函数f（x）取最小值-2．

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及三角函数的单调性和最值以及周期性，属基础题．