Question

10．对函数$f（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）-1\;（x∈R）$，有下列说法：
①f（x）的周期为4π，值域为[-3，1]；
②f（x）的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称；
③f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{3}，0）$对称；
④f（x）在$（-π，\frac{2π}{3}）$上单调递增；
⑤将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，即得到函数$y=2cos\frac{1}{2}x-1$的图象．
其中正确的是①②④．（填上所有正确说法的序号）．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，从而得出结论．

解答 解：对函数$f（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）-1\;（x∈R）$，他的周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，值域为[-3，1]，故①正确．
当x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称，故②正确．
当x=-$\frac{π}{3}$时，f（x）=-1，不是函数的最值，故故f（x）的图象不关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称，故③错误．
在$（-π，\frac{2π}{3}）$上，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），故f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）单调递增，故f（x）在$（-π，\frac{2π}{3}）$上单调递增，故④正确．
将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，即可得到函数y=2sin[$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的图象，故⑤错误，
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．