Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，右焦点为（

2

，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点，求证：点O到直线AB的距离为定值；
（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 6 3 c= 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB：y=kx+m．由

y=kx+m x2+3y2=3

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线AB的距离公式，能证明点O到直线AB的距离为定值

3

2

．
（3）|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(

6km

1+3k2

)2-4×

3m2-3

1+3k2

]≤4，当斜率不存在时，|AB|＜2．由此能求出△OAB面积的最大值．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，右焦点为（

2

，0），
∴

c a = 6 3 c= 2 a2=b2+c2

，解得a=

3

，b=1，
∴椭圆C的方程

x2

3

+y2=1…（3分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，则设直线AB：y=kx+m．
由

y=kx+m x2+3y2=3

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0…（5分）
△＞0，

x1+x2=- 6km 1+3k2 x1x2= 3m2-3 1+3k2 •

…（6分）
有OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（k x₁+m）（k x₂+m）
=（1+k²） x₁x₂+k m（x₁+x₂）+m²=0，…（8分）
代入，得4m²=3k²+3，原点到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

3

2

．…（9分）
当AB的斜率不存在时，|x₁|=|y₁|，
可得|x1|=

3

2

=d，依然成立．
∴点O到直线AB的距离为定值

3

2

…（10分）
说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分
（3）|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(

6km

1+3k2

)2-4×

3m2-3

1+3k2

]
=

3(9k4+10k2+1)

9k4+6k2+1

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+6+ 1 k2

≤4   …（12分）
当且仅当9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

时等号成立．…（13分）
当斜率不存在时，经检验|AB|＜2．
∴S_△OAB≤

1

2

×2×

3

2

=

3

2

综合得：△OAB面积的最大值为

3

2

．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．