Question

14．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=$\frac{1}{3}$x²+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=$\frac{1}{3}$x²+10x（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

解答 解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，
∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-$\frac{1}{3}{x}^{2}$-10x-250=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+40x-250；
②当x≥80时，根据年利润=销售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-51x-$\frac{10000}{x}$+1450-250=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）．
综合①②可得，L（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x}^{2}+40x-250，0＜x＜80}\\{1200-（x+\frac{10000}{x}），x≥80}\end{array}\right.$；
（2）①当0＜x＜80时，L（x）=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+40x-250=-$\frac{1}{3}（x-60）^{2}$+950，
∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；
②当x≥80时，L（x）=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）≤1200-200=1000，
当且仅当x=$\frac{10000}{x}$，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．
综合①②，由于950＜1000，
∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

点评 考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．