Question

2．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：x²+（y-5）²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线y=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线y=-4上运动时，四点A，B，C，D的横坐标之积为定值．

Answer 1

分析 （1）设点M（x，y），由已知条件推导出|y+2|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-5）^{2}}$-3，由此能求出曲线C₁的方程．
（2）当点P在直线y=-4上运动时，设P（x₀，-4），切线方程为kx-y-kx₀-4=0，所以$（{{x}_{0}}^{2}-9）{k}^{2}+18{x}_{0}k+72=0$，设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=-$\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，k₁k₂=-$\frac{72}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x-y-{k}_{1}{x}_{0}-4=0}\\{{x}^{2}=20y}\end{array}\right.$，得x²-20k₁x+20（k₁x₀+4）=0，设四点A、B、C、D的横向联合坐标分别是x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁x₂=20（k₁x₀+4），x₃x₄=20（k₂x₀+4），由此能证明四点A，B，C，D的横坐标之积为定值．

解答 （1）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|y+2|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-5）^{2}}$-3，
易知圆C₂上的点位于直线y=-2的上侧．于是y+2＞0，所以$\sqrt{{x}^{2}+（y-5）^{2}}$=y+5，
化简得曲线C₁的方程为x²=20y．
（2）证明：当点P在直线y=-4上运动时，设P（x₀，-4），
由题意知x₀≠±3，过P且于圆C₂相切的直线的斜率存在，
每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为y+4=k（x-x₀），即kx-y-kx₀-4=0，
∴$\frac{|-5-k{x}_{0}-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
整理，得$（{{x}_{0}}^{2}-9）{k}^{2}+18{x}_{0}k+72=0$，①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁，k₂是方程①的两个实根，
∴k₁+k₂=-$\frac{18{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，k₁k₂=-$\frac{72}{{{x}_{0}}^{2}-9}$，②
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}x-y-{k}_{1}{x}_{0}-4=0}\\{{x}^{2}=20y}\end{array}\right.$，得x²-20k₁x+20（k₁x₀+4）=0，③
设四点A、B、C、D的横向联合坐标分别是x₁，x₂，x₃，x₄，
则x₁，x₂是方程③的两个实根，
∴x₁x₂=20（k₁x₀+4），④
同理，x₃x₄=20（k₂x₀+4），⑤
由②④⑤三式得：
x₁x₂x₃x₄=400（k₁x₀+4）（k₂x₀+4）
=400[k₁k₂x₀²+4x₀（k₁+k₂）+16]
=400×16=6400．
∴当点P在直线y=-4上运动时，四点A、B、C、D的横坐标之积为定值6400．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查四点的横坐标之积为定值的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理等知识点的合理运用．