Question

4．若函数f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），g（x）=log₂（2-|x+1|）
（1）写出函数g（x）的单调区间．
（2）若y=a 与函数g（x）的图象恰有1个公共点M，N 是f（x）图象上的动点．求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数g（x）的定义域，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，输出对应的M、N的坐标，结合二次函数的性质求出|MN|的最小值即可．

解答 解：（1）由2-|x+1|＞0，解得：-3＜x＜1，
故函数g（x）的定义域是（-3，1），
-3＜x＜-1时，g（x）=log₂（x+3）是增函数，
-1＜x＜1时，g（x）=log₂（-x+1）是减函数，
即g（x）的增区间是（-3，-1），减区间是（-1，1）；
（2）g（x）=log₂（2-|x+1|）的值域是（-∞，1]，
故a＜1时，g（x）与y=a的图象有2个公共点，
a=1时，g（x）与y=a的图象仅有1个公共点，
故a=1，此时M（-1，1），
设N（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$），（x₀＞0），
则|MN|²=${{（x}_{0}+1）}^{2}$+${（\frac{1}{{x}_{0}}-1）}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}$+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$+2（x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$）+2=${{（x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}+1）}^{2}$+3，
故|MN|的最小值是3，此时x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$+1=0，解得：x₀=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，|MN|的最小值是3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道中档题．