Question

6．已知F₁、F₂是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1与双曲线C₂的两个公共焦点，P是C₁，C₂一个公共点．若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则C₂的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由椭圆方程，求得其焦点坐标，设双曲线的标准方程，根据椭圆及双曲线的定义，且∠F₁PF₂=90°，利用勾股定理求得a的值，利用双曲线的离心率公式，即可求得C₂的离心率．

解答 解：椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，焦点在x轴上，c=$\sqrt{3}$，则|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∵|PF₂|+|PF₁|=4，|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=2+a，|PF₁|=2-a，
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则∠F₁PF₂=90°，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
则（2-a）²+（2+a）²=（2$\sqrt{3}$）²，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴C₂的离心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查椭圆及双曲线的简单几何性质及定义，考查数形结合思想，属于中档题．