Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁+S₄=0，b₉=a₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=

1

(bn+16)(bn+18)

，W_n是数列{c_n}的前n项和，求W_n及取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的性质和通项与前n项和的关系，即可得到数列{a_n}的通项，再由等差数列的通项，即可得到数列{b_n}的通项公式；
（2）求出c_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，再由裂项相消求和得到W_n，再由数列的单调性，即可得到范围．

解答： 解：（1）由于a_n是S_n和1的等差中项，则2a_n=1+S_n，①
当n=1时，2a₁=1+S₁=1+a₁，解得，a₁=1，
又n＞1时，2a_n-1=1+S_n-1，②
①-②，得，2a_n-2a_n-1=a_n，即有a_n=2a_n-1，
则a_n=2^n-1．S_n=2ⁿ-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，则由b₁+S₄=0，得到b₁+15=0，即b₁=-15，
又b₉=a₁=1，则-15+8d=1，则d=2，
则b_n=-15+2（n-1）=2n-17；
（2）c_n=

1

(bn+16)(bn+18)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
W_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
且W_n＜

1

2

，W_n为递增数列，则当n=1时，取最小值，且为

1

3

，
则W_n=

n

2n+1

，其取值范围是[

1

3

，

1

2

）．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式及运用，考查数列的求和方法：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．