Question

在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则称曲线上有钝点，下列曲线中“有钝点的曲线”是

 

（写出所有满足条件的编号）
①x²=4y；
②

x2

3

+

y2

2

=1；
③x²-y²=1；
④（x-2）²+（y-2）²=4；
⑤3x+4y=4．

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则P在圆：x²+y²=1的内部，对选项进行验证，即可得出结论．

解答： 解：在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则P在圆：x²+y²=1的内部，
①x²=4y，显然在圆：x²+y²=1的内部存在点P，故是“有钝点的曲线”；
②圆：x²+y²=1在

x2

3

+

y2

2

=1的内部，故不存在一点P，使∠APB为钝角，故不是“有钝点的曲线”；
③x²-y²=1与圆：x²+y²=1相交于A（-1，0），B（1，0），其余点在圆的外部，故不存在一点P，使∠APB为钝角，故不是“有钝点的曲线”；
④（x-2）²+（y-2）²=4与圆：x²+y²=1相交，故存在一点P，使∠APB为钝角，故是“有钝点的曲线”；
⑤圆心到直线的距离为

4

5

＜1，所以3x+4y=4与圆：x²+y²=1相交，故存在一点P，使∠APB为钝角，故是“有钝点的曲线”．
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查曲线与方程，考查新定义，若曲线C上存在一点P，使∠APB为钝角，则P在圆：x²+y²=1的内部，是解题的关键．