Question

已知函数f(x)=2asin(2x+

π

6

)+b的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，1]，则函数g（x）=a^bx+7在[b，a]上，（　　）

• A、有最大值2
• B、有最小值2
• C、有最大值1
• D、有最小值1

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域

专题：函数的性质及应用

分析：此题考查正弦型函数的值域问题，配合指数函数的单调性最值问题，设t=2x+

π

6

，x∈[0，

π

2

]，那么t∈[

π

6

，

7π

6

]是关键

解答： 解：∵已知函数f(x)=2asin(2x+

π

6

)+b的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，1]
∴不妨设t=2x+

π

6

，x∈[0，

π

2

]，那么t∈[

π

6

，

7π

6

]
∴h（t）=f（x）=2asint+b，a＞b
∴f（x）_max=h（

π

2

）=2asin

π

2

+b=1①
  f（x）_min=h（

7π

6

）=2asin

7π

6

+b=-5②
由①②解得，
∴a=2，b=-3
又∵g（x）=2^-3x+7在[-3，2]上单调递减
∴g（x）_min=g（2）=2
即，函数g（x）=a^bx+7在[b，a]上有最小值2
故选：B．

点评：此题考查正弦型函数的值域问题，需要采用换元的思想，是一道基础题目，也是高考常见题型．