已知在平面直角坐标系xoy中.O为坐标原点.曲线$C:\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα+sinα\\ y=\sqrt{3}sinα-cosα\end{array}\right.$.在以平面直角坐标系的原点为极点.x轴的正半轴为极轴.取相同单位长度的极坐标系.直线$l:ρsin=1$．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα+sinα\\ y=\sqrt{3}sinα-cosα\end{array}\right.$（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线$l：ρsin（{θ+\frac{π}{6}}）=1$．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．

分析（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；
（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．

解答解：（1）曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα+sinα\\ y=\sqrt{3}sinα-cosα\end{array}\right.$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=3co{s}^{2}α+2\sqrt{3}sinαcosα+si{n}^{2}α}\\{{y}^{2}=3si{n}^{2}α-2\sqrt{3}sinαcosα+co{s}^{2}α}\end{array}\right.$，
曲线C的普通方程：x²+y²=4．
直线$l：ρsin（{θ+\frac{π}{6}}）=1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ$，
直线l的直角坐标方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0．
（2）∵圆C的圆心（0，0）半径为：2，
，圆心C到直线的距离为1，
∴这三个点在平行直线l₁与 l₂上，如图：
直线l₁与 l₂与l的距离为1．
l₁：x+$\sqrt{3}y$=0，l₂：x+$\sqrt{3}y$-4=0．
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
两个交点（-$\sqrt{3}$，1），（$\sqrt{3}$，-1）；
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+\sqrt{3}y-4=0}\end{array}\right.$，解得（1，$\sqrt{3}$），
这三个点的极坐标分别为：（2，$\frac{11π}{6}$），（2，$\frac{5π}{6}$），（2，$\frac{π}{3}$）