Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA₁，AC，BB₁的中点，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）若D为BE的中点，求证：DF⊥平面A₁C₁G；
（Ⅱ）若AC=4，BC=2，求平面BEF与平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AG，则AG与BF交于点D，DF∥GC，推导出C₁C⊥A₁C₁，A₁C₁⊥CG，从而CG⊥平面A₁C₁G，由此能证明DF⊥平面A₁C₁G．
（Ⅱ）分别以AC、BC、CC₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BEF与平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AG，则AG与BF交于点D，
在△ACG中，DF是中位线，∴DF∥GC，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥A₁C₁，
∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，
∴C₁B₁⊥A₁C₁，则A₁C₁⊥平面B₁C₁CB，则A₁C₁⊥CG，
又CG⊥C₁G，∴CG⊥平面A₁C₁G，
∴DF⊥平面A₁C₁G．
解：（Ⅱ）在平面B₁C₁CB中，△CC₁G是等腰直角三角形，则CC₁=2BC=4，
分别以AC、BC、CC₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，2，0），F（2，0，0），E（4，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{BF}$=（2，-2，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=2x-2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
平面B₁C₁CB的一个法向量$\overrightarrow{CF}$=（2，0，0），
设平面BEF与平面B₁C₁CB所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面BEF与平面B₁C₁CB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．