Question

14．如图一，矩形ABCD与ADEF所在平面垂直，将三角形DEF沿FD翻折，使翻折后点E落在BC上（如图二），设AB=1，FA=x，AD=y．
（Ⅰ）试求y关于x的函数解析式；

（Ⅱ）图二中当E为BC中点时求直线AD与平面FDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，我们利用勾股定理分别求出BP，PC，根据BC=BP+PC，可以得到 x，y的关系式；
（Ⅱ）求出A到平面FDE的距离，利用正弦函数，即可求直线AD与平面FDE所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，
AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$
在Rt△FAP中，AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$
∵BC=BP+PC=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=y
即y=$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$；
（Ⅱ）图二中当E为BC中点时，AD=2，AF=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{6}$
设A到平面FDE的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴直线AD与平面FDE所成角的正弦值=$\frac{h}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查的知识点是空间两点之间的距离计算，考查直线与平面所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．