Question

12．已知函数f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1（k＞0），若f（x）的单调递减区间是（0，4）．
（1）求k的值；
（2）当x＞k时，求证：2$\sqrt{x}$＞3-$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令f'（x）＜0，求出函数f（x）的单调减区间，而f（x）的单调减区间为（0，4），它们是同一区间，建立等式关系，即可求出k的值；
（2）求出k的值，令g（x）=2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$-3，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f'（x）=3kx²-6（k+1）x=0（k＞0），
解得：x=0或 $\frac{2k+2}{k}$而 $\frac{2k+2}{k}$＞2，
令f'（x）=3kx²-6（k+1）x＜0，解得x∈（0，$\frac{2k+2}{k}$）
∴f（x）的单调减区间为（0，$\frac{2k+2}{k}$）
根据题意可知（0，4）=（0，$\frac{2k+2}{k}$），
即 $\frac{2k+2}{k}$=4，解得k=1，
所以k的值为1；
（2）由（1）得：x＞1时，证明：2$\sqrt{x}$＞3-$\frac{1}{x}$．
令g（x）=2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$-3，g′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，+∞）递增，
∴g（x）＞g（1）=0，
故x＞1时，2$\sqrt{x}$＞3-$\frac{1}{x}$．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，考查不等式的证明，是一道中档题．