Question

8．“3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示椭圆”的（　　）条件．

• A． 充分不必要
• B． 必要不充分
• C． 充要
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 根据题意，分2步进行分析：①对于方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$，若其表示椭圆，依据椭圆的标准方程，解可得a的取值范围，分析可得3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示椭圆”的必要条件；②分析当3＜a＜5，方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$不一定表示椭圆，即3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示椭圆”的不充分条件；综合由充分、必要条件的定义分析可得答案．

解答 解：根据题意，
对于方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$，若其表示椭圆，则有a-3＞0，5-a＞0，且a-3≠5-a，
解可得3＜a＜5，且a≠4；
故3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示椭圆”的必要条件；
方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$中，若3＜a＜5，则a-3＞0，5-a＞0，
当a=4时，a-3=5-a，方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示圆，
当a≠4时，a-3≠5-a，方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示椭圆，
则3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示椭圆”的不充分条件；
综合可得，3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示椭圆”的必要不充分条件；
故选：B．

点评 本题考查充分、必要条件的判定，涉及椭圆的标准方程，解题的关键是理解充分．必要条件的判定方法以及椭圆的标准方程．