Question

18．已知y=asinx+bcosx+c的图象有一个最低点（$\frac{11π}{6}$，1），如果图象各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{3}{π}$倍，再向左平移1个单位，可得到y=f（x）的图象．又直线y=3与y=f（x）每相邻两个交点的距离均为3．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）在[$\frac{π}{6}$，l]上单调，求l的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式对函数解析式化简整理，把最低点坐标代入求得φ和a，b和c的关系，表示出函数的解析式，把x=$\frac{11π}{6}$代入即可求得a，b和c的关系，结合直线y=3与y=f（x）每相邻两个交点的距离均为3求得c，则函数解析式可求；
（2）求出函数f（x）的单调增区间，结合y=f（x）在[$\frac{π}{6}$，l]上单调即可求得l的最大值．

解答 解：（1）y=asinx+bcosx+c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+α）+c，其中α满足tanα=$\frac{b}{a}$，
∵（$\frac{11π}{6}$，1）是图象上的最低点，
∴$\frac{11π}{6}$+α=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），且-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+c=1．
则：α=2kπ-$\frac{7π}{3}$，且$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=c-1．
∴y=asinx+bcosx+c=（c-1）sin（x+2kπ-$\frac{7π}{3}$）+c=（c-1）sin（x-$\frac{π}{3}$）+c，
将上述函数图象上的点横坐标缩短到原来的$\frac{3}{π}$（纵坐标不变），得y=（c-1）sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）+c，
再向左平移1个单位，得y=（c-1）sin[$\frac{π}{3}$（x+1）-$\frac{π}{3}$]+c=（c-1）sin$\frac{π}{3}$x+c．
又直线y=3与y=f（x）每相邻两个交点的距离均为3，可得c=3．
∴f（x）=2sin$\frac{π}{3}x$+3；
（2）∵f（x）=2sin$\frac{π}{3}x$+3；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{3}x≤\frac{π}{2}+2kπ$，得-$\frac{3}{2}+6k≤x≤\frac{3}{2}+6k，k∈Z$．
当k=0时，函数的增区间为[$-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$]，
∵$\frac{π}{6}∈$[$-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$]，
∴若y=f（x）在[$\frac{π}{6}$，l]上单调，则l的最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了辅助角公式的应用，三角函数的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律等知识的综合运用，要求考生具备一定的推理论证的能力，属于中档题．