已知函数f(x)=x+$\frac{a}{x}$-4.g(x)=kx+3．(1)当a=k=1时.求函数y=f的单调递增与单调递减区间,(2)当a∈[3.4]时.函数f(x)在区间[1.m]上的最大值为f(m).试求实数m的取值范围,(3)当a∈[1.2]时.若不等式|f(x1)|-|f(x2)|＜g(x1)-g(x2)对任意x1.x2∈[2.4](x1＜x2)恒成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$-4，g（x）=kx+3．
（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；
（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；
（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂）对任意x₁，x₂∈[2，4]（x₁＜x₂）恒成立，求实数k的取值范围．

分析（1）将a=k=1代入函数，求出函数y=f（x）+g（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可；
（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；
（3）不等式等价于F（x）=|f（x）|-g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．

解答解：（1）a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+$\frac{1}{x}$-1（x≠0），
y′=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$（x≠0），
令y′＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令y′＜0，解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$且x≠0，
故函数在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）递增，在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）递减；
（2）∵a∈[3，4]，
∴y=f（x）在（1，$\sqrt{a}$）上递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）上递增，
又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），
∴f（m）≥f（1），解得（m-1）（m-a）≥0，
∴m≥a_max，即m≥4；
（3）∵|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂），
∴|f（x₁）|-g（x₁）＜|f（x₂）|-g（x₂）恒成立，
令F（x）=|f（x）|-g（x），则F（x）在[2，4]上递增．
对于F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1-k）x-\frac{a}{x}+1，x∈[2，2+\sqrt{4-a}]}\\{（1-k）x+\frac{a}{x}-7，x∈（2+\sqrt{4-a}，4]}\end{array}\right.$，
（i）当x∈[2，2+$\sqrt{4-a}$]时，F（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1，
①当k=-1时，F（x）=-$\frac{a}{x}$+1在[2，2+$\sqrt{4-a}$]上递增，所以k=-1符合；
②当k＜-1时，F（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1在[2，2+$\sqrt{4-a}$]上递增，所以k＜-1符合；
③当k＞-1时，只需 $\sqrt{\frac{a}{k+1}}$≥2+$\sqrt{4-a}$，即 $\sqrt{\frac{1}{k+1}}$≥（$\frac{2}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{\frac{4}{a}-1}$）_max=2+$\sqrt{3}$，
所以-1＜k≤6-4$\sqrt{3}$，从而k≤6-4$\sqrt{3}$；
（ii）当x∈（2+$\sqrt{4-a}$，4]时，F（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}$-7，
①当k=1时，F（x）=$\frac{a}{x}$-7在（2+$\sqrt{4-a}$，4]上递减，所以k=1不符合；
②当k＞1时，F（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}$-7在（2+$\sqrt{4-a}$，4]上递减，所以k＞1不符合；
③当k＜1时，只需 $\sqrt{\frac{a}{1-k}}$≤2+$\sqrt{4-a}$，即 $\sqrt{\frac{1}{1-k}}$≤（$\frac{2}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{\frac{4}{a}-1}$）_min=1+$\sqrt{2}$，
所以k＜2$\sqrt{2}$-2，
综上可知：k≤6-4$\sqrt{3}$．