Question

8．在等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃，a₂+a₄，a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n（n∈N^*），{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n-na_n+6≥0成立的正整数n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系进行求解即可．
（2）利用方程法求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法求出{b_n}的前n项和公式，解不等式即可．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃，a₂+a₄，a₅成等差数列．
∴2（a₂+a₄）=a₃+a₅，
即2（a₂+a₄）=q（a₂+a₄），
∴q=2，
则a_n=a₁q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ，
即${a_n}={2^n}$；
（2）∵数列{b_n}满足b₁+$\frac{b_2}{2}+…+\frac{b_n}{n}={a_n}（n∈{N^*}）$，
∴b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}$+$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$=a_n+1，
两式相减得$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$=a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
则b_n+1=（n+1）•2ⁿ，即b_n=n•2^n-1，n≥2，
当n=1时，b₁=a₁=2，不满足b_n=n•2^n-1，n≥2．
即b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n=1}\\{n•{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
当n=1时，不等式等价为S₁-a₁+6=6≥0成立，
当n≥2时，
S_n=2+2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，①
则2S_n=4+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n•2ⁿ=2ⁿ-2-n•2ⁿ=-2-（n-1）•2ⁿ，
则S_n=2+（n-1）•2ⁿ，
则当n≥2时，不等式S_n-na_n+6≥0等价为2+（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ+6≥0，
即8-2ⁿ≥0，则2ⁿ≤8，得n≤3，
则n的最大值是3．

点评 本题主要考查数列通项公式以及前n项和公式的计算，根据等差数列和等比数列的定义建立方程，以及利用错位相减法是解决本题的关键．注意要讨论n的取值范围．