Question

10．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=2$\sqrt{2}$，过C的割线CMN交AB的延长线于点D，若CM=MN=ND，则BD的长等于$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 利用掌握圆的切线的性质、切割线定理、三角形相似的性质即可得出．

解答 解：∵AC切⊙O于点A，CM=MN，AC=2$\sqrt{2}$，
∴AC²=CM•CN，
∴CM=2．
∴CD=3CM=6．
∵AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，
∴AC⊥AD，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD=2$\sqrt{7}$．
作OE⊥CD，则DE=3．
∴$\frac{3}{OD}$=$\frac{2\sqrt{7}}{6}$，
∴OD=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$，
∴OA=AD-OD=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$，
∴BD=OD-OB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、三角形相似的性质是解题的关键．