Question

6．已知函数f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x+1，a∈R．
（1）当a=$\frac{1}{4}$时，求f（x）的极值；
（2）设g（x）=e^x-x，若对于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{4}$时，f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{2x}$，确定函数的单调性，即可得出极值；
（2）对于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，则有f（x）_max≤g（x）_min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{4}$时，f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，…（2分）
f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{2x}$
当（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＞0，所以在单调递增，
当（1，2）时，f′（x）＜0所以在单调递减．…（3分）
所以当x=1时，f（x）有极大值-$\frac{1}{4}$，当x=2时，有极小值ln2-1．…（5分）
（2）由g（x）=e^x-x，则g'（x）=e^x-1，
令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（-∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，
即g（x）_最小值=g（0）=1．…（7分）
对于“对于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立”等价于f（x）_最大值≤1．
又因为f′（x）=$\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$…（8分）
①当a=0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）_最大值=f（1）=0＜1，
∴a=0符合题意．．…（10分）
②当a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）_最大值=f（1）=-a≤1，
得-1≤a＜0，
∴-1≤a＜0符合题意．…（12分）
③当a＞0时，a=$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，+∞）是增函数，
而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤1矛盾．
同理0＜a＜$\frac{1}{2}$与a$＞\frac{1}{2}$时也不成立．
综上所述：a的取值范围为[-1，0]．…（14分）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．